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1，实对称特征值问题

首先 零矩阵的特征值只有0若 λ是A的特征值则 λ^2 是 A^2 的特征值所以 λ^2=0所以 λ=0即 A 的特征值 λ 只能等于0

实对称特征值问题

2，求A0 1 11 0 11 1 0的实特征值及对应的特征向量

|A-λE|=-λ(λ^2+3)A的实特征值为0Ax=0 的基础解系为 (1,1,1)^T所以A的属于特征值0的全部特征向量为 k(1,1,1)^T, k≠0.

求A0 1 11 0 11 1 0的实特征值及对应的特征向量

3，证明任何正交矩阵的实特征值要么是1要么是1

设矩阵为A(ij)由于是正交矩阵AA(T)=I所以A(T)=A(-1) ((T)为矩阵转置，(-1)为矩阵的逆设A的特征值为λ(n),则A(T)的特征值为λ(n)A(-1)的特征值为1/λ(n)因为A(T)=A(-1) λ(n)=1/λ(n)λ(n)^2=1λ(n)要么是1，要么是-1
因该事把!再看看别人怎么说的。

证明任何正交矩阵的实特征值要么是1要么是1

4，求矩阵A0 2 0 1 1 0122 的全部实特征值以及属于每一个特征值

|A-λE|=-λ 2 0 1 1-λ 0 1 -2 -2-λ= (-2-λ)[-λ(1-λ)-2]= (-2-λ)(λ^2-λ-2)= (-2-λ)(λ-2)(λ+1)所以 A 的特征值为 2,-1,-2.(A-2E)x=0 的基础解系为 (4,4,-1)^T所以属于特征值2的特征向量为 k1(4,4,-1)^T,k1为任意非零常数(A+2E)x=0 的基础解系为 (0,0,1)^T所以属于特征值-2的特征向量为 k2(0,0,1)^T,k2为任意非零常数(A+E)x=0 的基础解系为 (2,-1,4)^T所以属于特征值-1的特征向量为 k3(2,-1,4)^T,k3为任意非零常数

5，特征值的定义

设A为n阶矩阵，若存在常数λ及n维非零向量x，使得Ax=λx，则称λ是矩阵A的特征值，x是A属于特征值λ的特征向量。 A的所有特征值的全体，叫做A的谱，记为. 如将特征值的取值扩展到复数领域，则一个广义特征值有如下形式：Aν=λBν其中A和B为矩阵。其广义特征值（第二种意义）λ 可以通过求解方程(A-λB)ν=0，得到det(A-λB)=0（其中det即行列式）构成形如A-λB的矩阵的集合。其中特征值中存在的复数项，称为一个“丛(pencil)”。若B可逆，则原关系式可以写作，也即标准的特征值问题。当B为非可逆矩阵（无法进行逆变换）时，广义特征值问题应该以其原始表述来求解。如果A和B是实对称矩阵，则特征值为实数。这在上面的第二种等价关系式表述中并不明显，因为A矩阵未必是对称的。

6，什么是特征向量特征值

设置方程：将A分别作用在u和v上，也就是计算Au和Av：画个图就是：Av=2v，A对v的作用，仅仅是将v延长了，这个系数2就叫特征值；而被矩阵A延长的向量(2,1)，就是特征向量。下面给出数学定义。A为nxn矩阵，x为非零向量。若存在数λ，使Ax=λx成立，则称λ为A的特征值，x称为对应于λ的特征向量。特征值有两个很特别的规律，分别是：1、特征值的和，等于矩阵对角线的和（迹）。2、特征值的积，等于矩阵的行列式。扩展资料：定理谱定理在有限维的情况，将所有可对角化的矩阵作了分类：它显示一个矩阵是可对角化的，当且仅当它是一个正规矩阵。注意这包括自共轭（厄尔米特）的情况。这很有用，因为对角化矩阵T的函数f(T)（譬如波莱尔函数f）的概念是清楚的。在采用更一般的矩阵的函数的时候谱定理的作用就更明显了。例如，若f是解析的，则它的形式幂级数，若用T取代x，可以看作在矩阵的巴拿赫空间中绝对收敛。谱定理也允许方便地定义正算子的唯一的平方根。谱定理可以推广到希尔伯特空间上的有界正规算子，或者无界自共轭算子的情况。求特征值，描述正方形矩阵的特征值的重要工具是特征多项式，λ是A的特征值等价于线性方程组(A – λI) v = 0 （其中I是单位矩阵）有非零解v (一个特征向量)，因此等价于行列式|A – λI|=0 。函数p(λ) = det(A – λI)是λ的多项式，因为行列式定义为一些乘积的和，这就是A的特征多项式。矩阵的特征值也就是其特征多项式的零点。一个矩阵A的特征值可以通过求解方程pA(λ) = 0来得到。 若A是一个n×n矩阵，则pA为n次多项式，因而A最多有n个特征值。反过来，代数基本定理说这个方程刚好有n个根，如果重根也计算在内的话。所有奇数次的多项式必有一个实数根，因此对于奇数n，每个实矩阵至少有一个实特征值。在实矩阵的情形，对于偶数或奇数的n，非实数特征值成共轭对出现。求特征向量，一旦找到特征值λ，相应的特征向量可以通过求解特征方程(A – λI) v = 0 得到，其中v为待求特征向量，I为单位阵。没有实特征值的一个矩阵的例子是顺时针旋转90度。参考资料：搜狗百科-特征向量
1. 矩阵（以方阵为例）可以看作是一个坐标系；2. 矩阵乘法可以看作是一个变换，可以把一个向量变成另一个向量；3. 在这个变换过程中，原向量可能在坐标系发生旋转、伸缩；4. 如果在这个变换过程中，矩阵对某个向量只发生伸缩，而不发生旋转；则这个向量为这个矩阵的特征向量，而伸缩的比例就是特征值。矩阵是一个系统的理论，要理解特征向量、特征值，最好先了解矩阵的几何意义。
定义：Aξ=λξ ，λ是特征值ξ是特征向量 意思就是 一个矩阵作用在一个向量上，相当于一个数作用这个向量上，这个数就是特征值，这个向量就是特征向量如果你指得讲清楚是讲清楚特征值和特征向量的几何意义，可以追问，我也可以给你讲清楚，只不过过程相当复杂，你要不需要我就先不讲了，但是我估计即使说明白，对你的学习没什么有用的帮助，说实话大学就算你要考研，特征值特征向量也就是背公式就解决了
特征值就是使得λE-A的行列式为0的λ值，而特征向量是对应某一特征值来说满足值，(λE-A)a=0的解向量
特征向量是一个非简并的向量，在这种变换下其方向保持不变。该向量在此变换下缩放的比例称为其特征值（本征值）。特征值是线性代数中的一个重要概念。线性变换通常可以用其特征值和特征向量来完全描述。特征空间是一组特征值相同的特征向量。“特征”一词来自德语的eigen。希尔伯特在1904年第一次用这个词，更早亥尔姆霍尔兹也在相关意义下使用过该词。eigen一词可翻译为”自身的”、“特定于……的”、“有特征的”、或者“个体的”，这显示了特征值对于定义特定的线性变换的重要性。扩展资料：求矩阵的全部特征值和特征向量的方法如下：第一步：计算的特征多项式；第二步：求出特征方程的全部根，即为的全部特征值；第三步：对于的每一个特征值，求出齐次线性方程组的一个基础解系，则的属于特征值的全部特征向量是（其中是不全为零的任意实数）。参考资料来源：搜狗百科-特征值参考资料来源：搜狗百科-特征向量

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