欧拉公式证明，如何证明复变函数论里的欧拉公式数学里有哪五朵金花
来源：整理 编辑：智能门户 2023-08-24 20:47:10
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1，如何证明复变函数论里的欧拉公式数学里有哪五朵金花
e^ix=cosx+isinx（欧拉公式）的证明：
因为e^x=1+x/1！+x^2/2！+x^3/3!+x^4/4!+……
cos x=1-x^2/2!+x^4/4!-x^6/6!……
sin x=x-x^3/3!+x^5/5!-x^7/7!……
在e^x的展开式中把x换成±ix.
(±i)^2=-1, (±i)^3=?i, (±i)^4=1 ……
e^±ix=1±ix/1!-x^2/2!?x^3/3!+x^4/4!……
=(1-x^2/2!+……)±i(x-x^3/3!……)
所以e^±ix=cosx±isinx
数学史上的五朵金花就是指e，π，i，1，0。
2，欧拉公式 证明
欧拉(Leonhard Euler ,1707-1783)著名的数学家,瑞士人,大部分时间在俄国和法国度过.他17岁获得硕士学位,早年在数学天才贝努里赏识下开始学习数学,毕业后研究数学,是数学史上最高产的作家.在世发表论文700多篇,去世后还留下100多篇待发表.其论著几乎涉及所有数学分支.著名的七座桥问题也是他解决的。他是创立数学符号的大师。首先使用f(x)表示函数,首先用∑表示连加,首先用i表示虚数单位.1727年首先引用e来表示自然对数的底。欧拉公式有两个：一个是关于多面体的：如凸多面体面数是F，顶点数是V，棱数是E，则V-E+F=2；这个2就称欧拉示性数。另一个是关于级数展开的：e^(i*x)=cos(x)+i*sin(x). 这里i是虚数单位，i的平方=-1。 参考文献：以上各位的答案高中数学书上阅读材料里有证明的，不过很麻烦，对于高中生不好理解。
3，欧拉公式证明
http://bbs.fhsx.cn/dispbbs.asp?boardid=6&id=5699
这上面有推导过程欧拉(Leonhard Euler ,1707-1783)
著名的数学家,瑞士人,大部分时间在俄国和法国度过.他17岁获得硕士学位,早年在数学天才贝努里赏识下开始学习数学,毕业后研究数学,是数学史上最高产的作家.在世发表论文700多篇,去世后还留下100多篇待发表.其论著几乎涉及所有数学分支.
著名的七座桥问题也是他解决的。
他是创立数学符号的大师。首先使用f(x)表示函数,首先用∑表示连加,首先用i表示虚数单位.1727年首先引用e来表示自然对数的底。
欧拉公式有两个：
一个是关于多面体的：
如凸多面体面数是F，顶点数是V，棱数是E，则V-E+F=2；这个2就称欧拉示性数。
另一个是关于级数展开的：
e^(i*x)=cos(x)+i*sin(x). 这里i是虚数单位，i的平方=-1。
4，如何证明欧拉公式
假设在任意凸多面体中放置一个点光源，以这个点光源为中心作一个单位球，凸多面体的顶点、棱、面都会在球上形成投影。那么只要证明在球面上形成的点、线、面满足欧拉公式即可。
然后将球面上的所有面剖分成三角形，剖分一个面时，任意两条剖分线不要在这个面的内部形成交叉，这样剖分为三角形后，球面投影的面数和线数会增加，由于每1条线将1个面分成2个面，因而增加1条线也就增加了1个面，线和面增加的数目相同。
假设原来的顶点、棱、面的个数分别为V、E、F，那么进行三角剖分后，V不变，E和F增加的数目相同，因而F-E+V的值保持不变。下面只证全部为球面三角形时F-E+V=2。
所有面全部为三角形时，由于每个面有3条边，而每条边又为2个面所共有，因而2E=3F，则F-E=-F/2，下面再证明V-F/2=2即可。
每一个顶点的一个周角2∏被若干个球面三角形的角围成，因而所有三角形的内角总和为2∏V，一个球面三角形的面积为A+B+C-∏，则所有三角形的面积为：所有三角形内角总和-∏F，而所有三角形面积之和为球面面积4∏，即得2∏V-∏F=4∏，等式两边除以2∏得：V-F/2=2，问题得证。
5，欧拉公式的证明的一个问题
因为复变函数中的指数函数就是用级数来定义的，把e^x=1+x+x2/2+...直接推到复数域上，e^z=1+z+z2/2+...。这跟可导没有关系，而且什么叫做没人证明复数域上的函数可以求导？复变函数的导数同样是由实函数中导数的定义类推过去的，定义在z=z0处f(z)的导数为lim(z→z0)[f(z)-f(z0)]/(z-z0)。定理唯一的疏漏就是cosz和sinz的定义问题，欧拉把所有的奇数项和偶数项分开之后，仅仅看到了所有的奇数项构成的级数，与实函数中cosx的泰勒展开形式相同，所以直接认为奇数项所构成的级数就是cosz。sinz同理。但现代数学证明cosz和sinz的级数定义与其他形式的定义等价，所以如果同样以级数来定义cosz和sinz的话，欧拉公式显然成立。绝对收敛的可交换性对于实变和复变是一样的：设有级数u1+u2+...+un+...将它改变顺序后得到级数u1*+u2*+...+un*+...。考虑原级数绝对收敛，故有其各项去绝对值后收敛。先对级数2各项去绝对值后做前n项和sn*。若去足够大的数m，使得对于级数1去绝对值后的那个级数可以将sn*中的各个项全部包含在内，则有下列不等式存在：sn*<=sm<=s，即，单调有界数列必有极限，故：数列{sn*}的极限存在，即级数2绝对收敛。且有s*<=s。另一方面，若将原来的级数看做是级数2改变项后所得的级数，又应有不等式s<=s*成立，故s=s*。对于复数项级数，各项去模后，所得的级数也是一列正项级数，故道理是一样的。
6，欧拉定理怎么证明
简单多面体的顶点数V、面数F及棱数E间有关系 V+F-E=2 这个公式叫欧拉公式。公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律。 方法1：（利用几何画板） 逐步减少多面体的棱数，分析V+F-E 先以简单的四面体ABCD为例分析证法。 去掉一个面，使它变为平面图形，四面体顶点数V、棱数V与剩下的面数F1变形后都没有变。因此，要研究V、E和F关系，只需去掉一个面变为平面图形，证V+F1-E=1 （1）去掉一条棱，就减少一个面，V+F1-E不变。依次去掉所有的面，变为“树枝形”。 （2）从剩下的树枝形中，每去掉一条棱，就减少一个顶点，V+F1-E不变，直至只剩下一条棱。 以上过程V+F1-E不变，V+F1-E=1，所以加上去掉的一个面，V+F-E =2。 对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。因此公式对任意简单多面体都是正确的。 方法2：计算多面体各面内角和 设多面体顶点数V，面数F，棱数E。剪掉一个面，使它变为平面图形（拉开图）,求所有面内角总和∑α 一方面，在原图中利用各面求内角总和。 设有F个面，各面的边数为n1,n2，…，nF，各面内角总和为： ∑α = [(n1-2)·1800+(n2-2)·1800 +…+(nF-2) ·1800] = (n1+n2+…+nF -2F) ·1800 =(2E-2F) ·1800 = (E-F) ·3600 （1） 另一方面，在拉开图中利用顶点求内角总和。 设剪去的一个面为n边形，其内角和为(n-2)·1800，则所有V个顶点中，有n个顶点在边上，V-n个顶点在中间。中间V-n个顶点处的内角和为(V-n)·3600，边上的n个顶点处的内角和(n-2)·1800。 所以，多面体各面的内角总和： ∑α = (V-n)·3600+(n-2)·1800+(n-2)·1800 =（V-2）·3600. （2） 由(1)(2)得： (E-F) ·3600 =（V-2）·3600 所以 V+F-E=2. （1）分式： a＾r/(a-b)(a-c)+b＾r/(b-c)(b-a)+c＾r/(c-a)(c-b) 当r=0,1时式子的值为0 当r=2时值为1 当r=3时值为a+b+c （2）复数 由e＾iθ=cosθ+isinθ,得到： sinθ=（e＾iθ-e＾-iθ）/2i cosθ=（e＾iθ+e＾-iθ）/2 （3）三角形 设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则： d＾2=R＾2-2Rr （4）多面体 设v为顶点数，e为棱数，f是面数，则 v-e+f=2-2p p为欧拉示性数，例如 p=0 的多面体叫第零类多面体 p=1 的多面体叫第一类多面体 (5) 多边形 设一个二维几何图形的顶点数为V，划分区域数为Ar，一笔画笔数为B,则有： V+Ar-B=1 (如：矩形加上两条对角线所组成的图形，V=5,Ar=4,B=8) (6). 欧拉定理 在同一个三角形中，它的外心Circumcenter、重心Gravity、九点圆圆心Nine-point-center、垂心Orthocenter共线。 其实欧拉公式是有很多的，上面仅是几个常用的。参考资料： http://baike.baidu.com/view/48903.htm#4欧拉公式简单多面体的顶点数v、面数f及棱数e间有关系 v+f-e=2这个公式叫欧拉公式。公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特有的规律。证明方法：方法1：（利用几何画板） 逐步减少多面体的棱数，分析v+f-e 先以简单的四面体abcd为例分析证法。 去掉一个面，使它变为平面图形，四面体顶点数v、棱数v与剩下的面数f1变形后都没有变。因此，要研究v、e和f关系，只需去掉一个面变为平面图形，证v+f1-e=1 （1）去掉一条棱，就减少一个面，v+f1-e不变。依次去掉所有的面，变为“树枝形”。（2）从剩下的树枝形中，每去掉一条棱，就减少一个顶点，v+f1-e不变，直至只剩下一条棱。以上过程v+f1-e不变，v+f1-e=1，所以加上去掉的一个面，v+f-e =2。对任意的简单多面体，运用这样的方法，都是只剩下一条线段。因此公式对任意简单多面体都是正确的。 方法2：计算多面体各面内角和设多面体顶点数v，面数f，棱数e。剪掉一个面，使它变为平面图形（拉开图）,求所有面内角总和∑α一方面，在原图中利用各面求内角总和。设有f个面，各面的边数为n1,n2，…，nf，各面内角总和为：∑α = [(n1-2)·1800+(n2-2)·1800 +…+(nf-2) ·1800]= (n1+n2+…+nf -2f) ·1800=(2e-2f) ·1800 = (e-f) ·3600 （1）另一方面，在拉开图中利用顶点求内角总和。设剪去的一个面为n边形，其内角和为(n-2)·1800，则所有v个顶点中，有n个顶点在边上，v-n个顶点在中间。中间v-n个顶点处的内角和为(v-n)·3600，边上的n个顶点处的内角和(n-2)·1800。所以，多面体各面的内角总和：∑α = (v-n)·3600+(n-2)·1800+(n-2)·1800 =（v-2）·3600. （2）由(1)(2)得： (e-f) ·3600 =（v-2）·3600 所以 v+f-e=2.
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