闭集

闭集，开集的补集是闭集，所以闭集定义为开集。空集和完备集定义为开集，闭集的定义是开集的补集，因为空集的补集是完备集，完备集的补集是空集，在闭集的规定下，空集和完备集都是闭集，闭集的有限个数的并集仍然是闭集，所以命题被证明，为什么空集和完备集都是开集和闭集？这与开集和闭集的定义有关。拓扑学中关于给集合分配开集的三条规则第一条是空集和全集定义为开集，闭集的定义是开集的补集。

实变函数闭集包含所有聚集点的集合为闭集的充要条件。由于收敛点序列{{xn}}收敛在定义域x0上，所以x0是闭集F的收敛点，当然属于F。这是点集拓扑学的内容，只使用泛函。连续映射的定义是开集的原像是开集，可以补一点，推一点。一点集合为闭集，证明如下:设集合S{a}无聚集点，故导集为空集，故导集包含在S中，按定义为闭集。闭集的有限个数的并集仍然是闭集，所以命题被证明。

设A为闭集，用Ac表示它在度量空间中的补集。根据开集的定义，只需要证明Ac中的所有点都是内点。取任意点x∈Ac，如果X不是Ac的内点，那么根据内点的定义，X的任意邻域中至少有一个点不属于Ac，即X的任意邻域中至少有一个点属于a .而且很明显，这不可能是X本身(因为x∈Ac)。

闭集在高中数学中是闭区间，比如连通闭集不是闭区域。教科书上说，封闭区域是由开放区域和下边界组成的，其依据是必须有开放区域。如果只是连通，则为闭集，可能不是闭区域，例如平面集合a {x，y { | x ^ 2 y ^ 2≤1 }∨{(x，y)|(x2)2 y ^ 2≤1 }。这两个圆由点(1，0)连接。两个圆的内部是开集，两个圆是边界，所以是闭集。但是，A不是封闭区域。如果去掉两个作为边界的圆，剩下的两个圆的内部不再连通，那么就不是开放区域，所以A不是封闭区域。

开集和闭集应该是很基础的东西。开集是拓扑的子集，拓扑是空间的子集族，定义了开集是什么。然而，这涉及到一个赋范空间，或距离空间，它具有比一般拓扑空间好得多的性质。通过范数定义开集，它是开邻域，球面邻域之类的，到某一点的距离比Ipsilon小。对于开集，每个点都有这样一个球面邻域。开集的补集是闭集，所以闭集定义为开集。

也可以定义一个闭球。算子是赋范空间之间的函数，是线性空间的线性变换或线性映射。但赋范空间一般与函数空间相关，所以用算子的名字来表示区别。由于算子是函数，自然可以传递抽象函数论中的各种概念，如定义域、伴域、值域、象、逆象、内射性、内射性、映射合成等。这一套东西很基础。每去一个新的环境，都要重新解释一遍。

以上闭集的定义是基于开集的。这个概念在拓扑空间中是有意义的，它也适用于其他具有拓扑结构的空间，如度量空间、可微流形、一致空间和规范空间。闭集的另一个定义是通过序列。拓扑空间X上的子集A是闭的当且仅当由A的元素组成的任意序列的任意极限仍属于A..这个表达式的价值在于可以用在比拓扑空间更常见的收敛空间的定义中。

这与开集和闭集的定义有关。拓扑学中关于给集合分配开集的三条规定中，第一条是空集和全集都定义为开集，而闭集的定义是开集的补集。因为空集的补集是完备集，完备集的补集是可见，有些集合既是开的又是闭的，而有些集合不是开的又是闭的，其本质原因是开集的定义和闭集。虽然看起来很奇怪，但在数学理论上不会引起矛盾，所以开集和闭集的这种定义被人们所接受。

空集和完备集定义为开集，闭集的定义是开集的补集。因为空集的补集是完备集，完备集的补集是空集，在闭集的规定下，空集和完备集都是闭集。集合在数学领域有着无与伦比的特殊重要性。集合论的基础是由德国数学家康托尔在20世纪70年代奠定的，经过了一大批科学家半个世纪的努力。到20世纪20年代，它已经在现代数学理论体系中确立了自己的基础地位。可以说，现代数学各个分支的几乎所有成就都是以严格的集合论为基础的。

开集是拓扑学中最基本的概念之一。设A是度量空间X的子集。如果A中的每个点都有一个以A中包含的点为中心的邻域，则称A是度量空间X中的开集..满足x ^ 2 y ^ 2r ^ 2的用蓝色点亮。在拓扑空间中，闭集是指补集是开集的集合。可以推广到度量空间中，如果一个集合的所有极限点都是这个集合中的点，那么这个集合就是闭集。不要把它和闭流形混淆。

如果A中的每个点都有一个以A中包含的点为中心的邻域，即A中的每个点都是A的内点，那么称A是度量空间X中的开集..在集合的语言中，对任意x∈A存在δ>0，使得b (x，δ) a，你也可以从另一个角度定义开集，即如果一个集合没有边界点(或没有边界点)，则称之为开集。即若a ∩ a，则a是开集，可以证明这两个定义是等价的。