牛顿法，牛顿迭代法是什么意思

本文目录一览

1，牛顿迭代法是什么意思
2，牛顿法的介绍
3，什么叫牛顿法

1，牛顿迭代法是什么意思

就是一些高次方程的根很难求，利用牛顿迭代法可以近似的求得方程的根。具体你看一下百科上的说明。

牛顿迭代法是什么意思

2，牛顿法的介绍

牛顿法最初由艾萨克·牛顿于1736年在 Method of Fluxions 中公开提出。而事实上方法此时已经由Joseph Raphson于1690年在Analysis Aequationum中提出，与牛顿法相关的章节《流数法》在更早的1671年已经完成了。

牛顿法的介绍

3，什么叫牛顿法

牛顿法 解非线性方程f(x)=0的牛顿(newton) 法，就是将非线性方程线性化的一种方法。它是解代数方程和超越方程的有效方法之一。 一牛顿法的基本思想 把非线性函数f(x)在处展开成泰勒级数 f(x)=f( )+(x- )f′( )+(x- ) + … 取其线性部分，作为非线性方程f(x)=0的近似方程，则有 f( )+(x- ) f′( )=0 设f′( )≠0，则其解为x = - (1) 再把f(x)在x 处展开为泰勒级数，取其线性部分为f(x)=0的近似方程，若 f′(x ) ≠0，则得x = - 如此继续下去，得到牛顿法的迭代公式：x = -  (n=0,1,2,…) (2) 例1 用牛顿法求方程f(x)=x +4x -10=0在［1,2］内一个实根，取初始近似值x =1.5。  解 f′(x)=3x +8x所以迭代公式为： x = - n=0,1, 2，… 列表计算如下： n 0 1 2 3 1.5 1.3733333 1.36526201 1.36523001 二牛顿法的几何意义 方程f(x)=0的根就是曲线y=f(x)与x轴交点的横坐标x*，当初始近似值选取后，过( ,f( ))作切线，其切线方程为：y- f( )=f′( )(x- ) 它与x轴交点的横坐标为x = - 一般地，设是x*的第n次近似值，过( ,f( )作y=f(x)的切线，其切线与x轴交点的横坐标为：x = - 即用切线与x轴交点的横坐标近似代曲线与x轴交点的横坐标，如图2-4。 2-4 牛顿法正因为有此明显的几何意义，所以也叫切线法。 三牛顿法的收敛性及收敛速度 定理 设f(x)在［a,b ］满足 (1) f(a)·f(b)<0 (2) f(x)∈［a,b］，f′(x),f″(x)均存在，且f′(x)与f″( x)的符号均保持不变。 (3) f( )·f″(x)>0，、x∈［a,b］，则方程f(x)=0在［a,b］上有且只有一个实根，由牛顿法迭代公式计算得到的近似解序列｛｝收敛于方程f(x)=0的根x*。 由方程f(x)=0得到的牛顿迭代形式 x=x- =  =1- = 由于f(x*)=0，所以当f′(x*)≠0时， (x* )= 0，牛顿法至少是二阶收敛的，即牛顿法在单根附近至少是二阶收敛的，在重根附近是线性收敛的。牛顿法收敛很快，而且可求复根，缺点是对重根收敛较慢，要求函数的一阶导数存在。 四牛顿二阶导数法 这里将简单介绍一下牛顿二阶导数法。对其几何意义及收敛性不作详细的叙述，读者可仿照牛顿法进行讨论，其基本思想是： 将f(x)在处展开泰勒级数 f(x)=f( )+f′( )(x- )+ f″( )(x- ) +… 取右端前三项近似代替f(x)，于是得f(x)=0的近似方程为 f( )+f′( )(x- )+ f″( )(x- ) =0 也即f( )+(x- )[f′( )+ f″( )(x- )] =0 (3) 设其解为 .利用(1)， - =- ，代入(3)中括号内 - ,则得f( )+( - ) [f′( )+ f″( ) ] =0 于是解出，得 = -  重复以上过程得： = - 于是得牛顿二阶导数法的迭代公式为：  = - n=0,1,2,… (4)  上式与牛顿法迭代公式(2)相比，利用此公式求根收敛更快，迭代次数更少。其缺点是要求f(x)的二阶导数存在。

什么叫牛顿法